Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=2，DD₁=2

2

，则AC₁与面BDD₁所成角的大小是

π

4

．

Answer 1

分析：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与斜向量

AC1

的夹角公式即可得出．

解答：解：如图所示，
  建立空间直角坐标系，由长方体可得，∴DD₁⊥AC．
由底面ABCD为矩形，AB=BC=2，∴四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
而BD∩DD₁=D，∴AC⊥平面BDD₁B₁．
∴可取

AC

=(-2，2，0)作为平面BDD₁B₁的法向量．
又

AC1

=(-2，2，2

2

)．
设AC₁与面BDD₁所成角为θ．
∴sinθ=|cos＜

AC1

，

AC

＞|=

| AC1 • AC |

| AC1 | | AC |

=

8

4+4+8 • 8

=

2

2

．
由图形可知：θ为锐角，∴θ=

π

4

．
故答案为

π

4

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量与斜向量的夹角公式求线面角的方法是解题的关键．