题目内容

已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，且 $数学公式$ ，则 $数学公式$ 的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：由条件可得 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的最小值和最大值，从而求得 $\text{[math]}$ 的最小值．当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的模最大且夹角最小时， $\text{[math]}$ 最大，故当M、N和点C重合时， $\text{[math]}$ 最大等于2，
再由点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，可得 $\text{[math]}$ 的最大小于2，从而得到 $\text{[math]}$ 的范围．
解答：由题意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ≤1，
∴ $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ．
设CM=x，CN=y，则 MN²=x²+y²≤1．
$\text{[math]}$ =1+（1-x）²+1+（1-y）²=（1-x）²+（1-y）²+2，
表示单位圆面（x²+y²≤1 ）上的点与点（1，1）连线的距离的平方加上2，
故其最小值为 $\text{[math]}$ +2=5-2 $\text{[math]}$ ，最大值为 $\text{[math]}$ +2=5+2 $\text{[math]}$ ．
故 $\text{[math]}$ 的最小值等于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ．
又当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的模最大且夹角最小时， $\text{[math]}$ 最大，
故当M、N和点C重合时， $\text{[math]}$ 最大等于 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2，
再由点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，可得 $\text{[math]}$ 的最大小于2．
故 $\text{[math]}$ 的范围为[2- $\text{[math]}$ ，2）．
故答案为[2- $\text{[math]}$ ，2）．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，本题属于中档题．