Question

已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，且|

.

MN

|≤1，则

.

OM

•

.

ON

的取值范围是（　　）

• A．[2-

  2

  ，2]
• B．[2-

  2

  ，2）
• C．[2-

  2

  ，2+

  2

  ]
• D．[2-

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：将正方体放入坐标系中，利用坐标法，结合数量积的定义和公式，转化为线性规划求

.

OM

•

.

ON

的取值范围．

解答：解：将正方体ABCD放入直角坐标系中，如图：则O（1，1），C（2，2），
设M（2，y），N（x，2），则设z=

.

OM

•

.

ON

=（1，y-1）•（x-1，1）=x-1+y-1=x+y-2，
则y=-x+z+2，
∵|

.

MN

|≤1，∴

(x-2)2+(y-2)2

≤1，
即（x-2）²+（y-2）²≤1，
平移直线y=-x+z+2，
由图象可知当直线经过点C（2，2）时，直线y=-x+z+2的截距最大，此时z=2-2+2=2，
当直线y=-x+z+2与圆相切时（圆下方），直线y=-x+z+2的截距最小，此时z最小．
直线一般式方程为x+y-2-z=0，
则圆心C到直线x+y-2-z=0的距离d=

|2+2-2-z|

12+12

=

|z-2|

2

=1，
解得z=2-

2

或z=2+

2

（舍去）．
∵M、N是不同的两点，所以z无最大值，
∴2-

2

≤z＜2．
即

.

OM

•

.

ON

的取值范围是[2-

2

，2）．
故选B．

点评：本题主要考查平面向量的数量积的运算，将正方体放入坐标系中，利用|

.

MN

|≤1，建立M，N的轨迹方程，利用线性规划的知识解决数量积的取值范围，本题综合性较强，难度较大．