Question

3．若不等式x³-2xlog_ax≤0在x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，则实数a的最小值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 不等式整理为$\frac{1}{2}$x²≤log_ax在x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时恒成立，只需$\frac{1}{2}$x²的最大值小于log_ax的最小值，利用分类讨论对a讨论即可．

解答 解：x³-2xlog_ax≤0在x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，
x²-2log_ax≤0
∴$\frac{1}{2}$x²≤log_ax在x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时恒成立
∴$\frac{1}{2}$x²的最大值小于log_ax的最小值
∴$\frac{1}{2}$ x²≤1/4≤log_ax
当a＞1时，log_ax为递增
但最小值为负数不成立
当0＜a＜1时，log_ax为递减
最小值在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$上取到，
∴log_a $\frac{\sqrt{2}}{2}$≥1/4=log_a ${a}^{\frac{1}{4}}$
∴a≥$\frac{1}{4}$，
故a的最小值为$\frac{1}{4}$．

点评 考查了对数函数的分类讨论和恒成立问题．