题目内容

数列a_n满足：log₂a_n+1=1+log₂a_n，前n项和为S_n，若a₃=10，则a₁₀=________．

330
分析：由log₂a_n+1=1+log₂a_n可得递推式 $\text{[math]}$ ，又a₃=10，可求出 $\text{[math]}$ ，根据求前n项和公式求出a₁₀．
解答：由log₂a_n+1=1+log₂a_n，
log₂a_n+1由log₂a_n+1-log₂a_n= $\text{[math]}$ =1，
可得 $\text{[math]}$ ，
又a₃=a₁+a₂+a₃=5a₁=10，得 $\text{[math]}$ ，
因而a₁₀=a₁+…+a₁₀= $\text{[math]}$ =330；
故答案为330．
点评：此题主要考查数列递推式及前n项和的计算．

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已知数列{a_n}满足：a_n=log_（n+1）（n+2），n∈N⁺，我们把使a₁•a₂•a₃•…•a_k为整数的数k（k∈N⁺）叫做数列{a_n}的理想数．给出下列关于数列{a_n}的几个结论：
①数列{a_n}的最小理想数是2；
②数列{a_n}的理想数k的形式可以表示为k=4ⁿ-2；
③在区间[1，2011]内{a_n}的所有理想数之和为2026；
④对任意的n∈N⁺，有a_n+1＞a_n．
其中正确的序号为

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n•log

a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2Pⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项公式及T_n关于n的表达式．
（Ⅲ）记bn=log(1+2an)Tn，求数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2010的n的最小值．

已知定义在R上的单调函数y=f（x），当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并写出适合条件的函数f（x）的一个解析式；
（2）数列{a_n}满足a1=f(0)且f(an+1)=

(n∈N+)，
①求通项公式a_n的表达式；
②令bn=(

)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=

，试比较Sn与

Tn的大小，并加以证明；
③当a＞1时，不等式

(log a+1x-log ax+1)对于不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．

已知数列{a_n}的前n项和为s_n满足：sn=2an-2n(n∈N*)．
（I）已知数列{c_n}满足c_n=a_n+2，求证数列{c_n}为等比数列；
（II）若数列{b_n}满足bn=lo

(an+2)，T_n为数列(

)的前n项和，证：Tn≥