Question

已知各项均为正数的数列{a_n}，设其前n项和为S_n，且满足：．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求出数列{a_n}的通项公式；
（3）设，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据求出a₁，然后代入即可求出a₂与a₃；
（2）由得4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，两者作差，研究{a_n}的相邻项的关系，由此关系求其通项即可．
（3）由（2）可得 ，裂项求和即可．
解答：解：（1）由得，解得a₁=1
由解得a₂=3
由解得a₃=5
（2）当n=1时，a₁=1
当n≥2时，-
整理得：（a_n-1）²=（a_n-1+1）²
化简得：a_n-a_n-1=2
所以{a_n}是公差为2，首项为1的等差数列，
即a_n=a₁+（n-1）×2=2n-1
（3）=
…=．
点评：本题考查数列求和，求解的关键是根据其通项的形式将其项分为两项的差，采用裂项求和的技巧求和，在裂项时要注意分母上两个因子相差2不是1，故裂项后应乘以 ，此是裂项时空间出错的地方．