Question

【题目】已知函数定义在区间内，对于任意的，有，且当时，．

（1）验证函数是否满足这些条件；

（2）判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明；

（3）若，求方程的解．

Answer 1

【答案】（1）满足；（2）奇函数、减函数；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由得定义域为．通过对数运算可得成立，由 ；

（2）令，再令函数为奇函数．任取，且 ，证明成立在区间内是减函数；

（3）利用奇偶性和已知等式可将方程化为，再根据单调性可得方程的解为．

试题解析：（1），，

即定义域为．

又，

，

成立，

且时，，即，∴．

即，符合条件

（2）令，则，

令，则，

，即函数为奇函数．

任取，且 ，

则．

，

．

，则，

即．

在区间内是减函数

（3）为奇函数，

，

又，

且，

，．

．

在区间内是单调函数，

．即（舍）．

故方程的解为