Question

在直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂．其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）若过点D（4，0）的直线l与C₁交于不同的两点E，F．E在DF之间，试求△ODE 与△ODF面积之比的取值范围．（O为坐标原点）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意知F₂（1，0），设M（x₁，y₁）．由抛物线定义得，即．由此能够求出C₁的方程．
（Ⅱ）设l的方程为x=sy+4，代入，得（3s²+4）y²+24sy+36=0，由△＞0，解得s²＞4．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），再结合韦达定理能够导出△ODE与△ODF面积之比的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）依题意知F₂（1，0），设M（x₁，y₁）．由抛物线定义得，即．
将代入抛物线方程得（2分），进而由及a²-b²=1解得a²=4，b²=3．故C₁的方程为（4分）
（Ⅱ）依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=sy+4代入，整理得（3s²+4）y²+24sy+36=0（6分）
由△＞0，解得s²＞4．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则，（1）（8分）
令且0＜λ＜1．将y₁=λy₂代入（1）得
消去y₂得（10分）即，即3λ²-10λ+3＜0解得．∵0＜λ＜1故△ODE与△ODF面积之比的取值范围为（12分）
点评：本题考查轨迹方程的求法和求△ODE与△ODF面积之比的取值范围．解题时要认真审题，注意培养直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．