Question

（本题满分13分）如图，分别过椭圆：左右焦点、的动直线相交于点，与椭圆分别交于不同四点，直线的斜率、、、满足．已知当轴重合时，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）  （2）M、N坐标分别为；为定值

解析试题分析：（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆E的方程．
（2）焦点F₁、F₂坐标分别为（-1，0），（1，0），当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0），当直线l₁，l₂斜率存在时，设斜率分别为m₁，m₂，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得(2+3m₁²)x²+6m₁²x+3m₁²?6＝0，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．
（1）当l₁与x轴重合时，，即，         2分
∴l₂垂直于x轴，得，，（4分）
得，，　　∴椭圆E的方程为．   5分
（2）焦点、坐标分别为(—1，0)、(1，0)．
当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)．   6分
当直线l₁、l₂斜率存在时，设斜率分别为，，设，，
由得：，
∴，．（7分）

，
同理．   9分
∵，∴，即．
由题意知，　∴．
设，则，即，   11分
由当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)也满足此方程，
∴点椭圆上，   12分
∴存在点M、N其坐标分别为，使得为定值．  13分
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．