Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为T_n，试求T_n的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据a_n+1=S_n+1-S_n=，把S_n=na_n-2n（n-1）代入得a_n+1-a_n=4．判断出数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列，进而求得数列的通项公式．
（2）把（1）中求得a_n代入Tn，用裂项法求和，判断出T_n＜，根据T_n-T_n-1＞0判断T_n单调递增，进而判断出T_n≥T₁，进而求得T_n得取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由S_n=na_n-2n（n-1）
得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n
∴a_n+1-a_n=4．
所以，数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列．
∴a_n=4n-3a₂=5，a₃=9，a₄=13
（Ⅱ）∵=
又，易知T_n单调递增，故
∴，即T_n得取值范围是
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．考查了学生对等差数列基础知识的理解和运用．