Question

设函数f（x）=x²+ax+b（a、b为实常数），已知不等式|f（x）|≤|2x²+4x-6|对任意的实数x均成立．定义数列{a_n}和{b_n}：a₁=3，2a_n=f（a_n-1）+3（n=2，3，…），b_n=

1

2+an

(n=1，2，…)，数列{b_n}的前n项和S_n．
（I）求a、b的值；
（II）求证：Sn＜

1

3

(n∈N*)；
（III ）求证：an＞22n-1-1(n∈N*).

Answer 1

分析：（ I）由|f（x）|≤|2x²+4x-6|=2|（x+3）（x-1）|知a=2，b=-3，由此可知f（x）=x²+2x-3（2分）
（II）由2a_n=f（a_n-1）+3=a_n-1²+2a_n-1=a_n-1（a_n-1+2）（n≥2）知bn=

1

2+an

=

an

2an+1

=

an2

2anan+1

=

2an+1-2an

2anan+1

=

1

an

-

1

an+1

.故Sn=b1+b2++bn=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)++(

1

an

-

1

an+1

).=

1

a1

-

1

an+1

=

1

3

-

1

an+1

.由此可知Sn＜

1

3

(n∈N*).
（III）由2a_n=a_n-1²+2a_n-1（n≥2）知（a_n-1+1）²=2a_n+1＜2（a_n+1）（n≥2），设a_n+1=c_n，可求出1+log₂c_n＞2log₂c_n-1，设d_n=log₂c_n，可求出d_n-1＞2²（d_n-2-1）＞＞2^n-1（d₁-1）=2^n-1（n≥2），由此可知an＞22n-1-1(n∈N*).

解答：解：（ I）由|f（x）|≤|2x²+4x-6|=2|（x+3）（x-1）|得f（-3）=0，f（1）=0，
故a=2，b=-3，∴f（x）=x²+2x-3
（II）由2a_n=f（a_n-1）+3=a_n-1²+2a_n-1=a_n-1（a_n-1+2）（n≥2）得

1

an-1+2

=

an-1

2an

(n≥2)，
∴bn=

1

2+an

=

an

2an+1

=

an2

2anan+1

=

2an+1-2an

2anan+1

=

1

an

-

1

an+1

.
∴Sn=b1+b2++bn=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)++(

1

an

-

1

an+1

).=

1

a1

-

1

an+1

=

1

3

-

1

an+1

.
∵2a_n=a_n-1²+2a_n-1（n≥2），∴2a_n-2a_n-1=a_n-1²≥0（n≥2），
∴a_n≥a_n-1（n≥2），从而a_n≥a_n-1≥≥a₂≥a₁=3＞0，即a_n+1＞0，∴Sn＜

1

3

(n∈N*).
（III）由2a_n=a_n-1²+2a_n-1（n≥2）得（a_n-1+1）²=2a_n+1＜2（a_n+1）（n≥2），
设a_n+1=c_n，则c₁=4，且2c_n＞c_n-1²（n≥2），
于是1+log₂c_n＞2log₂c_n-1（n≥2），
设d_n=log₂c_n，则d₁=2，且1+d_n＞2d_n-1（n≥2），∴d_n-1＞2（d_n-1-1）（n≥2），
∴d_n-1＞2²（d_n-2-1）＞＞2^n-1（d₁-1）=2^n-1（n≥2），
从而n≥2时，dn＞2n-1+1＞2n-1，∴cn=2dn＞22n-1，∴an=cn-1＞22n-1-1.
当n=1时，a1=3＞221-1-1=1，∴an＞22n-1-1(n∈N*).

点评：本题考查数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答．