Question

（2009•黄浦区二模）已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ-b（n∈N^*），则

lim

n→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

3

4

．

Answer 1

分析：利用递推公式a_n=s_n-s_n-1=2•3^n-1，a₁=s₁=3-b及数列{a_n}为等比数列可知a₁=3-b=2•3⁰，b=1，a_n=2•3^n-1
从而可得[

1

an

}是以

1

2

为首项，以

1

3

为公比的等比数列，求极限可求

解答：解：由题意可得，n≥2，a_n=s_n-s_n-1=2•3^n-1，a₁=s₁=3-b
由数列{a_n}为等比数列可知a₁=3-b=2•3⁰∴b=1
a_n=2•3^n-1
∴[

1

an

}是以

1

2

为首项，以

1

3

为公比的等比数列
则

lim

n→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

lim

n→∞

1 2 [1- ( 1 3 )n]

1- 1 3

=

lim

n→∞

3

4

[1-(

1

3

)n]=

3

4

故答案为：

3

4

点评：本题主要考查了等比数列的定义、通项公式及求和公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握数列的知识并能灵活利用．