Question

定义区间，，，的长度均为，其中．
（1）求关于的不等式的解集构成的区间的长度；
（2）若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值；
（3）已知关于的不等式，的解集构成的各区间的长度和超过，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）区间的长度是.
（2）（舍）.
（3）实数的取值范围是.

试题分析：（1）不等式的解是
所以区间的长度是  3分
（2）
当时，不符合题意  4分
当时，的两根设为，且
结合韦达定理知 
解得（舍）  7分
（3）
=
设，原不等式等价于 ，   9分
因为函数的最小正周期是，长度恰为函数的一个正周期
所以时，， 的解集构成的各区间的长度和超过
即实数的取值范围是  12分
点评：难题，指数不等式，常常化为同底数指数幂的不等关系或利用“换元法”，加以转化。三角函数不等式问题，通常利用三角公式进行化简，结合三角函数的图象和性质，加以处理，本题较难。