Question

【题目】已知圆心在x轴上的圆C与直线切于点，圆.

（1）求圆C的标准方程；

（2）已知，圆P与x轴相交于两点（点M在点N的右侧），过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于两点.问：是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在满足条件的a，且

【解析】

（1）根据切点在过该切点的切线上，可得的值，再根据切线的性质，可以求出圆心的坐标，进而可以求出半径，最后求出圆的方程；

（2）假设这样的a存在，，求出两点的坐标，设出直线的方程，与圆的方程联立，根据，可以得到，结合一元二次方程根与系数关系，可以求出的值.

（1）设圆心C的坐标为，由点E在直线l上，知

则，

，则，故

所以，即半径.

故圆C的标准方程为.

（2）假设这样的a存在，在圆P中，令，得，

解得或，

又由知，所以.

由题可知直线的倾斜角不为0，设直线，，

由，得

∵点在圆C内部，∴有恒成立，.

因为，所以，即，

也即是，整理得，

从而，化简有，

因为对任意的都要成立，所以，

由此可得假设成立，存在满足条件的a，且.