题目内容
已知椭圆
（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-c，0）和F2（c，0）（c>0），过点E（
，0）的直线与椭圆相交于A、B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|.
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求
的值。
（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-c，0）和F2（c，0）（c>0），过点E（，0）的直线与椭圆相交于A、B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|.（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求
的值。解：（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得
从而
整理，得a2=3c2
故离心率
；
（2）由（1），得
所以椭圆的方程可写为
设直线AB的方程为
即
由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组
消去y并整理，得
依题意，
而
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x ③
联立①③解得
将x1、x2代入②中，解得
；
（3）由（2）可知
当
时，得
由已知得
线段AF1的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴的交点
是△AF1C的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为
直线F2B的方程为
于是点H（m，n）满足方程组
由m≠0，解得
故
当
时，同理可得
。
从而
整理，得a2=3c2
故离心率
；（2）由（1），得
所以椭圆的方程可写为
设直线AB的方程为
即
由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组
消去y并整理，得
依题意，
而
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x ③
联立①③解得
将x1、x2代入②中，解得
；（3）由（2）可知
当
时，得由已知得
线段AF1的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴的交点
是△AF1C的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为直线F2B的方程为
于是点H（m，n）满足方程组
由m≠0，解得
故
当
时，同理可得。
练习册系列答案
相关题目
=1(a＞b＞0)与双曲线
=1(m＞0,n＞0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是( )
B.
C.
D.
=1(a＞b＞0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上的顶点，直线AF2交椭圆于另 一点B.
＝2
，
·
＝
，求椭圆的方程．
（a>b>0）,点
在椭圆上。
（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆
有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
分)
（a＞b＞0）的离心率
，焦距是函数
的零点.
与椭圆交于
、
两点,
，求k的值．