Question

（1）n∈N^*，求数列{

1

n2+n

}的前n项和S_n
（2）n∈N^*，求证：数列{

1

n(n+1)(n+2)

}的前n项和Tn=

1

4

-

1

2(n+1)(n+2)

（3）n∈N^*，求证：1+

1

23

+

1

33

+

1

43

+…+

1

n3

＜

29

24

．

Answer 1

分析：（1）由数列的通项an=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法能够求出数列{

1

n2+n

}的前n项和S_n．
（2）由数列的通项an=

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)-

1

2

(

1

n+1

-

1

n+2

)，利用裂项求和法能够求出数列{

1

n(n+1)(n+2)

}的前n项和．
（3）由n≥2时，n³＞（n-1）n（n+1），知

1

n3

＜ 

1

(n-1)n(n+1)

，由此能够证明1+

1

23

+

1

33

+

1

43

+…+

1

n3

＜

29

24

．

解答：（1）解：数列的通项an=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴数列{

1

n2+n

}的前n项和：
S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

（2）证明：数列的通项an=

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)-

1

2

(

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴数列{

1

n(n+1)(n+2)

}的前n项和：
Tn=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)-

1

2

(

1

2

-

1

3

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

(1-

1

n+1

)-

1

2

(

1

2

-

1

n+2

)
=

1

4

-

1

2(n+1)(n+2)

．
（3）证明：∵n≥2时，n³＞（n-1）n（n+1）
∴

1

n3

＜ 

1

(n-1)n(n+1)

=

1

2

•[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]，
∴

1

33

+

1

43

+…+

1

n3

＜

1

2

×[ (

1

2×3

-

1

3×4

)+(

1

3×4

-

1

4×5

)+…+

1

n(n-1)

-

1

n(n+1)

]
=

1

2

×[

1

6

-

1

n(n+1)

]＜

1

12

，
∴1+

1

2 3

+

1

33

+

1

43

+…+

1

n3

＜1+

1

8

+

1

12

=

29

24

．

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查数列前n项和的求法和不等式的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．