题目内容

已知函数f（x）=2x²，g（x）=alnx（a＞0）．
（1）若直线l交f（x）的图象C于A，B两点，与l平行的另一条直线l₁切图象于M，求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；
（3）求证： $数学公式$ （其中e为无理数，约为2.71828）．

（1）证明：设切点M的横坐标为x₀，A，B点的横坐标分别为x₁，x₂，
因为f′（x）=4x，所以 $\text{[math]}$ ；
令AB方程为y=4x₀x+b，则由 $\text{[math]}$ 消去y得2x²-4x₀x-b=0，
当 $\text{[math]}$ 时，x₁+x₂=2x₀，所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．…（4分）
（2）解：令F（x）=f（x）-g（x）=2x²-alnx， $\text{[math]}$ ，
令F'（x）=0，得 $\text{[math]}$ ，所以f（x）的减区间为 $\text{[math]}$ ，增区间为 $\text{[math]}$ ，
∴F（x）_极小值= $\text{[math]}$ ，
不等式f（x）≥g（x）恒成立，等价于 $\text{[math]}$ ，
∴a≤4e且a＞0，即a∈（0，4e]．…（10分）
（3）证明：由（2）得2x²≥4elnx，即 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ …
即 $\text{[math]}$ （14分）
分析：（1）设切点M的，A，B点的横坐标分别为x₁，x₂，求出AB方程与函数f（x）联立，利用韦达定理．即可证得结论；
（2）构造函数令F（x）=f（x）-g（x）=2x²-alnx，确定函数的最小值，不等式f（x）≥g（x）恒成立，等价于最小值大于等于0，由此可得的取值范围；
（3）由（2）得2x²≥4elnx，即 $\text{[math]}$ ，由此进行放缩，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查不等式的证明，解题的关键是正确求导，确定函数的最值．