Question

已知函数f（x）=ln（2+3x）-x²，
（1）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若对x∈，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：（1），
令=0，得x=或x=-1（舍去），
∴当时，＞0，f（x）单调递增；当时，＜0，f（x）单调递减，
∴为函数f（x）在[0，1]上的最大值．
（2）由得或，① 
设，
依题意知a＞h（x）或a＜g（x）在x∈上恒成立，
∵，
∴g（x）与h（x）都在上递增，要使不等式①成立，
当且仅当或，即或；
（3）由，
令，
，
当时，，于是在上递增； 
当x∈时，，于是在上递减，
而，
∴即在[0，1]上恰有两个不同实根等价于
，
∴。