Question

已知函数f（x）=x²+|x-a|+1，（x∈R）．
（1）画出a=0时函数f（x）的图象；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）判定函数的奇偶性，然后根据奇偶性图象的性质画出图象即可；
（2）讨论x去掉绝对值，然后利用二次函数的性质，讨论对称轴可求出函数的最小值即可．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=x²+|x|+1，是偶函数，图象关于y轴对称

（2）①当x＜a时，f（x）=x²-x+a+1=（x-

1

2

）²+a+

3

4

若a≤

1

2

，则函数f（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a²+1；
若a＞

1

2

，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（

1

2

）=a+

3

4

②当x≥a时，f（x）=x²+x-a+1=（x+

1

2

）²-a+

3

4

若a≤-

1

2

，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（-

1

2

）=-a+

3

4

且f（-

1

2

）≤f（a）
若a＞-

1

2

，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a²+1
综上，当a≤-

1

2

时，函数f（x）的最小值为-a+

3

4

；
当-

1

2

＜a≤

1

2

，函数f（x）的最小值为a²+1
当a＞

1

2

时，函数f （x）的最小值为

3

4

+a．

点评：本题主要考查了二次函数的对称性和奇偶性，以及单调性，同时考查了分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于中档题．