Question

设函数f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当k∈（

1

2

，1]时，求函数f（x）在[0，k]的最大值M．
（3）当k=0时，又设函数g（x）=ln（1+

2

x-1

）-

2x2+x

2x+2

，求证：当n≥2，且n∈N^*时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞g（n）+lnf（n）．

Answer 1

分析：（1）当k=1时，令f′（x）=x（e^x-2）=0，解得x=0，或x=ln2，分别讨论区间（-∞，0）、（0，ln2）、（ln2，+∞）上导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间；
（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．
（3）若证当n≥2，且n∈N^*时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞g（n）+lnf（n），即证

1

n+1

+

1

n

＞2ln

n+1

n

，令t=

1

n

，t∈（0，1），h（t）=1-

1

t+1

+t-2ln（t+1），利用导数法，证得h（t）＞h（0）=0可得答案．

解答：解：∵f（x）=（x-1）e^x-kx²
∴f′（x）=（x-1）e^x+e^x-2kx=x（e^x-2k）
（1）当k=1时，令f′（x）=x（e^x-2）=0，解得x=0，或x=ln2
当x＜0时，f′（x）＞0；
当0＜x＜ln2时，f′（x）＜0；
当x＞ln2时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）、（ln2，+∞）；单调递减区间为（0，ln2）
（2）∵f（x）=（x-1）e^x-kx²，x∈[0，k]，kk∈（

1

2

，1]
f'（x）=xe^x-2kx=x（e^x-2k）
令f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=ln（2k）
令φ（k）=k-ln（2k），kk∈（

1

2

，1]
φ′（k）=1-

1

k

=

k-1

k

≤0
所以φ（k）在（

1

2

，1]上是减函数，
∴φ（1）≤φ（k）＜φ（

1

2

），
∴1-ln2≤φ（k）＜

1

2

＜k．
即0＜ln（2k）＜k
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，ln（2k））	ln（2k）	（ln（2k），k）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

f（0）=-1，f（k）=（k-1）e^k-k³f（k）-f（0）=（k-1）e^k-k³+1=（k-1）e^k-（k³-1）=（k-1）e^k-（k-1）（k²+k+1）=（k-1）[e^k-（k²+k+1）]
因为kk∈（

1

2

，1]，所以k-1≤0
对任意的kk∈（

1

2

，1]，y=e^x的图象恒在y=k²+k+1下方，所以e^k-（k²+k+1）≤0
所以f（k）-f（0）≥0，即f（k）≥f（0）
所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k-1）e^k-k³．
（3）当k=0时，f（x）=（x-1）e^x，
∵g（x）=ln（1+

2

x-1

）-

2x2+x

2x+2

，
∴g（n）+lnf（n）=ln（n+1）+

n

2n+2

若证当n≥2，且n∈N^*时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞g（n）+lnf（n）．
即证1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）+

n

2n+2

=ln（n+1）+

1

2

（1-

1

n+1

）=ln（

2

1

•

3

2

•

4

3

…

n+1

n

）+

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
即证：

1

n

＞ln

n+1

n

+

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）
即证

1

n+1

+

1

n

＞2ln

n+1

n

设t=

1

n

，t∈（0，1），令h（t）=1-

1

t+1

+t-2ln（t+1）
则h′（t）=

t2

(t+1)2

∵h′（t）≥0恒成立
故h（t）在（0，1）上为增函数
故h（t）＞h（0），
即1-

1

t+1

+t-2ln（t+1）＞0
即

1

n+1

+

1

n

＞2ln

n+1

n

即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞g（n）+lnf（n）

点评：熟练掌握导数的运算法则、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键．