Question

如图，在三棱锥P-ABC中，底面△ABC是正三角形，∠APB=90°，∠PAB=60°，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设AB中点为D，AD的中点为O，连接PO，CO，CD，则可得∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角，在直角△POC中，即可求得直线PC与平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）过D作DE⊥AP于E，连接CE，可得∠CED为二面角B-AP-C的平面角，在直角△CDE中，可求二面角B-AP-C的大小．

解答：解：（Ⅰ）设AB中点为D，AD的中点为O，连接PO，CO，CD．
由已知△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，
又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD，
所以∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．
不妨设AB=4，则PD=2，CD=2

3

，OD=1，PO=

3

．
在△OCD中，CO=

OD2+CD2

=

13

．
所以，在直角△POC中，tan∠OCP=

3

13

=

39

13

．
所以直线PC与平面ABC所成角的大小为arctan

39

13

．
（Ⅱ）过D作DE⊥AP于E，连接CE．
由已知得CD⊥平面PAB，根据三垂线定理知CE⊥PA，所以∠CED为二面角B-AP-C的平面角．
由（Ⅰ）知，DE=

3

．
在直角△CDE中，tan∠CED=

CD

DE

=

2 3

3

=2．
所以二面角B-AP-C的大小为arctan2．

点评：本题考查线面角，考查面面角，解题的关键是正确作出线面角、面面角，属于中档题．