题目内容
如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为等腰直角三角形，A(-2,0),C(a,0)(a＞0),设△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M,N.
（1）若圆M与直线CD相切，求直线CD的方程.
（2）若直线AB截圆N所得弦长为4，求圆N的标准方程.
（3）是否存在这样的圆N，使得圆N上有且只有三个点到直线AB的距离为2?若存在，求此时圆N的标准方程；若不存在，请说明理由.
解:(1)圆心M(-1,1),∴圆M方程为(x+1)2+(y-1)2=2,
直线CD方程为x+y-a=0.
∵⊙M与直线CD相切,∴圆心M到直线CD的距离d=
=
,
化简得a=±2(舍去负值).∴直线CD的方程为x+y-2=0.
(2)直线AB方程为x-y+2=0,圆心N(
,
),
∴圆心N到直线AB距离为
=
.
∵直线AB截⊙N所得弦长为4,∴22+(
)2=
.∴a=±2
(舍去负值).
∴⊙N的标准方程为(x-
)2+(y-
)2=6.
(3)存在.由(2)知,圆心N到直线AB距离为
(定值),且AB⊥CD始终成立,
∴当且仅当圆N的半径
=2
,即a=4时,⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为2.
此时⊙N标准方程为(x-2)2+(y-2)2=8.
练习册系列答案
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