Question

已知向量

OP

=( 2cos(

π

2

+x) ， -1 )，

OQ

=( -sin(

π

2

-x) ， cos2x )，定义f（x）=

OP

•

OQ

．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其单调区间；
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量的数量积的运算法则化简f（x）后，利用两角和的余弦函数公式及两角差的正弦函数公式化简，再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调区间即可求出f（x）的单调区间；
（2）由f（A）=1，把x=A代入（1）求出的f（x）得到sin（2A-

π

4

）的值，然后由A的范围求出2A-

π

4

的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，利用三角形的面积公式，由b，c和sinA的值即可求出△ABC的面积．

解答：解：（1）由题意得：
f（x）=-2cos（

π

2

+x）sin（

π

2

-x）-cos2x
=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得：-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，
所以f（x）的递增区间为[ -

π

8

+kπ ，

3π

8

+kπ ]k∈N，
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得：

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，
所以f（x）的递减区间为[

3π

8

+kπ ，

7π

8

+kπ ]k∈N；
（2）由f（A）=1，得到

2

sin(2A-

π

4

)=1，即sin(2A-

π

4

)=

2

2

，
由0＜A＜

π

2

，得到2A-

π

4

∈(-

π

4

，

3π

4

)，
所以2A-

π

4

=

π

4

?A=

π

4

，
故S=

1

2

bcsinA=

1

2

×8×sin

π

4

=2

2

．

点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，掌握正弦函数的单调区间，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．