题目内容

已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：

①对于任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；

②f(1)＝1；

③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．

(1)试求f(0)的值；

(2)试求函数f(x)的最大值；

(3)试证明：当x时，f(x)＜2x．

答案：
解析：

　　(1)令x1＝x2＝0，依条件(3)可得f(0＋0)≥2f(0)，即f(0)≤0

　　又由条件(1)得f(0)≥0　故f(0)＝0　　　　　　　　　　　　　4分

　　(2)任取0≤x122≤1可知x2－x1(0，1]，则

　　f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)

　　于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)＝1因此当x＝1时，f(x)取最大值1．　　9分

　　(3)证明：当x时，f(x)≤f(1)＝1

　　当x时，＜2x≤1，f(2x)≤1，f(2x)≥f(x)＋f(x)＝2f(x)

　　∴f(x)≤f(2x)≤＜2x　即f(x)＜2x．　　　　　　　　　　　　　14分


练习册系列答案
相关题目
已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若对于任意x∈[0，1]，总有4f2（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0成立，求实数a的取值范围．
已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0； 
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，并且称f（x）为“友谊函数”，
请解答下列各题：
（1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．
（3）已知f（x）为“友谊函数”，且 0≤x1＜x2≤1，求证：f（x1）≤f（x2）．
已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f （x1+x2）≥f （x1）+f （x2）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
2n
，
1
2n-1
]，n∈N+时，f（x）＜2x．
已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
（3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．
已知定义域为[0，1]的函数f （x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f （x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
4
，
1
2
]时，f（x）＜2x．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网