题目内容

已知直线x-2y+2=0经过椭圆 $数学公式$ 的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AB，BS与直线 $数学公式$ 分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值．

解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1），
∴a=2，b=1，
故椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而 $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ 得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
设S（x₁，y₁），则 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$ ，又B（2，0）
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．当且仅当 $\text{[math]}$ ，即k= $\text{[math]}$ 时等号成立
∴k= $\text{[math]}$ 时，线段MN的长度取最小值 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线AS的方程为y=k（x+2），从而 $\text{[math]}$ ．由题设条件可以求出 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
再由均值不等式进行求解．
点评：本题考查椭圆与直线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．