Question

已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

Answer 1

【答案】分析：设正四面体S-ABC的棱长为a，则AB=SB=a，由余弦定理知4a²=3a²+3a²-2×3a²•cos∠ABS，所以cos∠ABS=，sin，设SB=b，则O₁P=b，过P作PE⊥BC，垂足为E，连接O₁E，则O₁E⊥BC，
所以，由此能导出，由椭圆定义知动点P的轨迹所在的曲线是椭圆．
解答：解：设正四面体S-ABC的棱长为a，则AB=SB=a，
∵AS²=AB²+SB²-2AB•SBcos∠ABS，
∴4a²=3a²+3a²-2×3a²•cos∠ABS，
∴cos∠ABS=，
∴sin，
设SB=b，则O₁P=b，
过P作PE⊥BC，垂足为E，
连接O₁E，则O₁E⊥BC，
∴，
在Rt△PO₁E中，
PE=，
∴，
由椭圆定义知动点P的轨迹所在的曲线是椭圆．
故选B．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及立体几何、余弦定理与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．