Question

（1）设|a|=4，|b|=3，（2a-3b）（2a+b）=61，求a与b的夹角θ；

（2）设=（2，5），=（3，1），=（6，3），上是否存在点M，使⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）∵（2a-3b）（2a+b）=61，∴4a²-4a·b-3b²=61.

又|a|=4，|b|=3，故a·b=-6，于是cosθ=，∴θ=120°.

（2）设存在点M，且=λ=（6λ，3λ），则=（2-6λ，5-3λ），=（3-6λ，1-3λ）.

令（2-6λ）·（3-6λ）+（5-3λ）·（1-3λ）=0，即45λ²-48λ+11=0，解得λ=或λ=，此时=（2，1）或=（，）.

∴存在满足题设的点M，坐标是（2，1）或（，）.