Question

在数列和等比数列中，，，．
（Ⅰ）求数列及的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）先利用数列是等比数列，结合，计算出数列的首项和公比，从而确定等比数列的通项公式，然后间接地求出数列的通项公式；解法二是先由数列是等比数列，结合定义证明数列是等差数列，然后将题设条件化为是有关数列的首项和公差的二元一次方程组，求出首项和公差的值进而求出数列的通项公式，最后确定等比数列的通项公式；
（Ⅱ）先根据，即数列的每一项均为等差数列中的项乘以等比数列中的项，结合利用错位相减法即可求出数列的前项和.
试题解析：解法一：（Ⅰ）依题意，，      2分
设数列的公比为，由，可知，   3分
由，得，又，则，   4分
故，   5分
又由，得．      6分
（Ⅱ）依题意．      7分
 ，  ①
则  ②  9分
①-②得，    11分
即，故．      12分
解法二：（Ⅰ）依题意为等比数列，则（常数），
由，可知，      2分
由，
得（常数），故为等差数列，    4分
设的公差为，由，，得，
故．    6分
（Ⅱ）同解法一．