Question

已知函数f(x)=logm

x-3

x+3

若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明．

Answer 1

分析：先判断f（x）在定义域上的增减性，再根据函数单调性的定义进行证明，注意对m与1进行比较，然后分类讨论判定出单调性即可．

解答：解：当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．
∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]?（3，+∞）．
设x₁，x₂∈[α，β]，则x₁＜x₂，且x₁，x₂＞3，
f（x₁）-f（x₂）=logm

x1-3

x1+3

-logm

x2-3

x2+3

=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

∵（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）=6（x₁-x₂）＜0，
∴（x₁-3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂-3）即

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜1，
∴当0＜m＜1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
当m＞1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．

点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．