Question

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：
①函数f（x）在其定义域上是单调函数；
②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是，且最大值是．请解答以下问题
（1）判断函数是否属于集合M？并说明理由；
（2）判断函数g（x）=-x³是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
（3）若函数，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）看是否同时符合①②即可，符合的话，成立，反之不成立．
（2）看是否同时符合①②即可，对于闭区间[a，b]，只需要利用f（x）在[a，b]上的最小值是，且最大值是就可求．
（3）已经符合①②，故存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是，且最大值是，再利用单调性求出t的取值范围．
解答：解：（1）∵，
在上递减，在上递增，
∴不属于M．（4分）
（2）∵g（x）=-x³在R上递减，
∴若g（x）=-x³属于M，则即（9分）
（3）∵且为增函数
∴
∴方程，在[1，+∞）内有两解
即，在[1，+∞）内有两解，所以t
化为：x²-4（t+1）x+4t²+4=0
则
解得t＞0，综上实数t的取值范围是（0，]．
点评：本题是一道带新定义的探究性的题目，在做这一类型题时，关键点是弄清题目中的新定义，并会用它来解题．