题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当 $数学公式$ 时，求函数f（x）的值域．

解：（1）f（x）=4cosxsin（x+ $\text{[math]}$ ）-1=4cosx（ $\text{[math]}$ sinx+ $\text{[math]}$ cosx）-1
=2 $\text{[math]}$ sinxcosx+2cos²x-1= $\text{[math]}$ sin2x+cos2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
令2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，解得：kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，
则f（x）的递减区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]k∈Z；
（2）∵x∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，∴2x+ $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴sin（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[- $\text{[math]}$ ，1]，
则f（x）的值域为[-1， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）将函数解析式先利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递减区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递减区间；
（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出正弦函数的值域，即可确定出f（x）的值域．
点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．