Question

定义在上的单调函数满足，且对任意都有

（1）求证：为奇函数；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）证明见试题解析；（2）．

【解析】

试题分析：(1)这是抽象函数问题，要证明它是奇函数，当然要根据奇函数的定义，证明或，由此在已知式里设，从而有，因此我们还要先求出，这个只要设或者有一个为0即可得，故可证得为奇函数；（2）不等式可以利用为奇函数的结论，变形为，再利用函数的单调性去掉符号“”，转化为关于的不等式恒成立问题，即对任意成立，这时还需要用换元法（设）变化二次不等式怛成立，当然不要忘记的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）证明：∵         ①

令，代入①式，得即

令，代入①式，得，又

则有即对任意成立，

所以是奇函数.                      4分

（Ⅱ）解：，即，又在上是单调函数，

所以在上是增函数.

又由（1）是奇函数.

，即对任意成立.

令，问题等价于对任意恒成立.   8分

令其对称轴.

当时，即时，，符合题意；       10分

当时，对任意恒成立

解得                     12分

综上所述，对任意恒成立时，

实数的取值范围是：.                 13分

考点：(1)奇函数的定义；；（2）不等式恒成立问题.