Question

已知函数f（x）=aln（x+1）+

1

2

x2-ax+1（a＞0）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把x=0代入函数f（x）的解析式中求出f（0）的值，确定出切点坐标，利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=0代入导函数中求出f′（0）的值即为切线的斜率，根据切点坐标和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）先求出f（x）的定义域，然后领导函数等于0求出x的值，利用x的值分a大于1，a大于0小于1和a=1三种情况讨论导函数的正负确定函数的单调性进而得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的极大值和极小值．

解答：解：（Ⅰ）f（0）=1，f′ (x)=

a

x+1

+x-a=

x(x-a+1)

x+1

，（2分）
f′（0）=0，所以函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（14分）
（Ⅱ）函数的定义域为（-1，+∞），
令f'（x）=0，得

x(x-a+1)

x+1

=0，
解得：x=0，x=a-1，（15分）
当a＞1时，列表：

x	（-1，0）	0	（0，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

可知f（x）的单调减区间是（0，a-1），增区间是（-1，0）∪（a-1，+∞）；
极大值为f（0）=1，极小值为f(a-1)=alna-

1

2

a2+

3

2

；（8分）
当0＜a＜1时，列表：

x	（-1，a-1）	a-1	（a-1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

可知f（x）的单调减区间是（a-1，0），增区间是（-1，a-1）∪（0，+∞）；
极大值为f(a-1)=alna-

1

2

a2+

3

2

，极小值为f（0）=1（11分）
当a=1时，f'（x）≥0，可知函数f（x）在（-1，+∞）上单增，无极值．（13分）

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调区间且根据函数的增减性得到函数的极值，是一道中档题．学生做第二问时注意求出函数的定义域．