Question

已知函数f（x）=x³+3ax-1的导函数为f′（x），g（x）=f′（x）-ax-3．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-2时，求函数f（x）=x³+3ax-1的导函数为f^′（x），令f^′（x）＞0，求出单调增区间；令f^′（x）＜0求出单调减区间；
（2）若对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，变更主元，转化为关于a的一次函数，求出实数x的取值范围；

解答：解：（1）当a=-2时，f′（x）=3x²-6．令f′（x）=0，得x=±

2

，
当x＜-

2

或x＞

2

时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当-

2

＜x＜

2

时，f^′′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调增区间是（-∞，-

2

），（

2

，+∞）；单调减区间是（-

2

，

2

）．
（2）因f′（x）=3a²+3a，故g（x）=3x²-ax+3a-3．
令g（x）=h（a）=a（3-x）+3x²-3，要使h（a）＜0对满足-1≤a≤1的一切a成立，
则

h(-1)=3x2+x-6＜0 h(1)=3x2-x＜0

，解得0＜x＜

1

3

．
故实数x的取值范围为（0，

1

3

）．

点评：本题考查导数研究函数的单调性与恒成立问题，本题中恒成立问题采取变更主元转化为关于a的一次函数进行处理，具有一定的技巧性．