Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图），AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
求：（1）异面直线AD₁与EC所成的角
（2）点D到平面ECD₁的距离．

Answer 1

解：（1）证明取CD的中点Q，则AQ平行与EC，所以∠D₁AQ是所求的角------（2分）
因为AD=1，AB=2，并且Q为CD的中点，
所以AQ=，
又因为在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，
所以AD₁=，QD₁=，
所以△D₁AQ为等边三角形，∠D₁AQ=-------------（5分）
所以异面直线AD₁与EC所成的角为-------（6分）
（2）设点D到平面ECD₁的距离为h-----------（7分）
因为=---------（9分）
所以
所以----------（11分）
所以点D到平面ECD₁的距离为------------（12分）
分析：（1）证明取CD的中点Q，则AQ平行与EC，所以∠D₁AQ是所求的角，再根据题意求出三角形的边长，进而利用解三角形的有关知识求出答案．
（2）设点D到平面ECD₁的距离为h，由=，进而得到答案．
点评：本题主要考查空间异面直线的夹角问题与点到平面的距离，而空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，再结合解三角形的有关知识求出答案即可，求点到平面的距离的方法：一般是利用等体积法或者借助于向量求解．