Question

已知函数f（x）=x³+x²+ax+b．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=ax只有一个公共点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；
（2）将题中条件：“函数f（x）的图象与直线y=ax只有一个公共点，”等价于“g（x）=x³+x²+b的其图象和x轴只有一个交点”，利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）=x³+x²+b的其图象和x轴只有一个交点，得到关于b的不等关系，从而求实数b的取值范围．

解答：解：（1）当a=-1时，f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）令f'（x）＞0，
解得x＞

1

3

或x＜-1，令f'（x）＜0，解得-1＜x＜

1

3

所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），(

1

3

，+∞)，f（x）的单调递减区间为(-1，

1

3

)（4分）
（2）因为函数f（x）的图象与直线y=ax只有一个公共点，
所以方程x³+x²+ax+b-ax=0只有一个解，即x³+x²+b，则其图象与x轴只有一个交点，
g'（x）=3x²+2x，令g'（x）=3x²+2x=0，所以x₁=0，x₂=-

2

3

，（7分）
可列表：
∴g（x）在x₁=0处取得极小值b，在x₂=-

2

3

取得极大值

4

27

+b
要使g（x）=x³+x²+b的其图象和x轴只有一个交点，
只需

b＞0 4 27 +b＞0

或

b＜0 4 27 +b＜0

，解得b＞0或b＜-

4

27

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想．