题目内容

P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是其焦点，且
PF1
•
PF2
=0，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（　　）
A．
7
4
B．
5
4
C．
5
2
D．
7
2
设|
PF1
|=m，|
PF2
|=n，由题意得
∵
PF1
•
PF2
=0，且△F1PF2的面积是9，∴
1
2
mn=9，得mn=18
∵Rt△PF1F2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2
∴（m-n）2=m2+n2-2mn=4c2-36，
结合双曲线定义，得（m-n）2=4a2，
∴4c2-36=4a2，化简整理得c2-a2=9，即b2=9
可得b=3，结合a+b=7得a=4，所以c=
a2+b2
=5
∴该双曲线的离心率为e=
c
a
=
5
4

故选：B
练习册系列答案
相关题目
P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为（　　）
A、-aB、aC、-cD、c
已知P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右支上一点，A1，A2分别为双曲线的左、右顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：
①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为
2ab
a2+b2
；
②若|PF1|=e|PF2|，则e的最大值为
2
；
③△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a；
其中正确命题的序号是
 
．
设点P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞，b＞0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（　　）
已知A，B，P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA•kPB=
2
3
，则该双曲线的离心率为
15
3
15
3
．
椭圆与双曲线之间有许多类似的性质：
P是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上任一点，焦点F1、F2，∠F1PF2=α，三角形PF1F2面积为b2
sinα
1+cosα
，类比，P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上任一点，焦点F1、F2，∠F1PF2=α，三角形PF1F2面积为
b2
sinα
1-cosα
b2
sinα
1-cosα
．

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