Question

已知函数f（x）=xsinx+cosx，其导函数k=f'（x）的图象大致为（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

分析：由题可得f^′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx令g（x）=xcosx可观察出过（0，0）点下面只需利用导数判断其在各段的单调性即可得出结果．

解答：解：∵f（x）=xsinx+cosx
∴f^′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx
令g（x）=xcosx且g（0）=0
∴g（x）过（0，0）点
∵g^′（x）=cosx-xsinx
∴g^′′（x）=-2sinx-xcosx
∴当x∈（-

π

2

，0)时g^′′（x）＞0故g^′（x）单调递增
  则1=g′(0)＞g′(x)＞g′( -

π

2

)=-

π

2

  故存在a∈(-

π

2

，0)使得g^′（a）=0
  所以当x∈(-

π

2

，a)时g^′（x）＜0，g（x）单调递减
  当x∈（a，0）时g^′（x）＞0，g（x）单调递增
当x∈（0，

π

2

）时g^′′（x）＜0故g^′（x）单调递减
  则-

π

2

= g′(

π

2

) ＜g′(x)＜g′(0)=1
  故存在b∈（0，

π

2

）时使得g^′（b）=0
  所以当x∈（0，b）时g^′（x）＞0，g（x）单调递增
  当x∈（b，

π

2

）时g^′（x）＜0，g（x）单调递减
综上：f^′（x）在（-

π

2

，a）单调递减，在（a，b）单调递增，在（b，

π

2

）单调递减．结合图象可知选B
故答案选B

点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性．此题关键是不易判断出g^′（x）的正负因此采用再求导数即g^′′（x）=-2sinx-xcosx可判断出x∈（-

π

2

，0)时g^′′（x）＞0故g^′（x）单调递增进而可得出g^′（x）的值有正有负再结合根的存在性定理可得出g^′（x）＞0的区间即g（x）的增区间和g^′（x）＜0的区间即减区间而x∈（0，

π

2

）的单调性可同理讨论！