Question

已知定义域在R上的单调函数y=f（x），存在实数x，使得对于任意的实数x₁，x₂，总有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x的值；
（2）若f（x）=1，且对任意正整数n，有a_n=，b_n=f（）+1，记T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求a_n与T_n；
（3）在（2）的条件下，若不等式对任意不小于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用赋值法，先令 x₁=x₂=0，再令x₁=1，x₂=0，代入已知恒等式即可；
（2）确定f（n）=2n-1，可求a_n，证明数列{b_n}为等比数列，利用等比数列前n项和公式即可求得T_n；
（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2），从而可得不等式组，即可求实数x的取值范围．
解答：解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x）+2f（0），∴f（x）=-f（0）①
令x₁=1，x₂=0，得f（x）=f（x）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）②
由①②得f（x）=f（1）
又∵f（x）是单调函数，
∴x=1；
（2）由（1）可得 f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）+1
则f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2
又∵f（1）=1
∴f（n）=2n-1（n∈N^*），
∴a_n=
∵f（1）=f（+）=f（）+f（）+f（1），
∴f（）=0，∴b₁=f（）+1=1
∵
∴
∴
∴T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=
（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n
则F（n+1）-F（n）=＞0
当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2）=a₃+a₄=
∴
即
∴，解得或
故
点评：本题考查了函数与数列的综合应用能力，抽象函数表达式的应用，等差等比数列的定义，等比数列的前n项和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．