Question

已知定义在R上的函数f(x)=a-

1

2x+1

是奇函数，其中a为实数．
（1）求a的值；  
（2）判断函数f（x）在其定义域上的单调性并证明；
（3）当m+n≠0时，证明

f(m)+f(n)

m+n

＞f(0)．

Answer 1

分析：（1）根据f（0）=0，求得a的值．
（2）由（1）可得f（x）的解析式，根据解析式可得它在定义域R上是增函数，再利用函数的单调性的定义进行证明．
（3）由于函数f（x）在R上是增函数，故函数表示的曲线上任意两点连线的斜率大于零，故当m≠n时，

f(m)-f(n)

m-n

＞0，换元可得

f(m)-f(-n)

m-(-n)

＞0=f（0），化简可得不等式成立．

解答：解：（1）∵定义在R上的函数f(x)=a-

1

2x+1

是奇函数，
∴f（0）=a-

1

2

=0，∴a=

1

2

．
（2）由（1）可得，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，它在定义域R上是增函数．
证明：设x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2 x2+1)

，
由题设可得0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
∴

2x1-2x2

(2x1+1)(2 x2+1)

＜0，故函数f（x）在R上是增函数．
（3）由于函数f（x）在R上是增函数，
故函数表示的曲线上任意两点连线的斜率大于零，
故当m≠n时，

f(m)-f(n)

m-n

＞0，
换元可得

f(m)-f(-n)

m-(-n)

＞0=f（0），
即

f(m)+f(n)

m+n

＞f(0)．
∴要证的不等式成立．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明，奇函数的性质，属于中档题．