定义域是R的函数.其图象是连续不断的.若存在常数λ+λf(x)=0对任意实数都成立.则称f(x)是R上的一个“λ的相关函数．有下列关于“λ的相关函数的结论:①f(x)=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数 ,②f(x)=x2是一个“λ的相关函数 ,③“$\frac{1}{2}$的相关函数至少有一个零点,④若y=ex是“λ的相关函数 .则-1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．定义域是R的函数，其图象是连续不断的，若存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数都成立，则称f（x）是R上的一个“λ的相关函数”．有下列关于“λ的相关函数”的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；
②f（x）=x²是一个“λ的相关函数”；
③“$\frac{1}{2}$的相关函数”至少有一个零点；
④若y=e^x是“λ的相关函数”，则-1＜λ＜0．
其中正确结论的个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析利用新定义“λ的相关函数”，对①②③④逐个判断即可得到答案

解答解：解：①∵f（x）=0是一个“λ的相关函数”，则0+λ•0=0，λ可以取遍实数集，因此f（x）=0不是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”，故①不正确；
②用反证法，假设f（x）=x²是一个“λ的相关函数”，则（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，
∴λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，
∴f（x）=x²不是一个“λ的相关函数”，故②不正确；
③令x=0得：f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（0）=0，
∴f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$f（0），
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；
若f（0）≠0，f（$\frac{1}{2}$）•f（0）=-$\frac{1}{2}$f（0）•f（0）=-$\frac{1}{2}$f²（0）＜0，
又因为f（x）的函数图象是连续不断，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上必有实数根．因此任意的“$\frac{1}{2}$相关函数”必有根，即任意“$\frac{1}{2}$的相关函数”至少有一个零点，故③正确．
④假设f（x）=e^x是一个“λ-同伴函数”，则e^x+λ+λe^x=0对任意实数x成立，则有e^λ+λ=0，可解得-1＜λ＜0．④正确．
故选：B．