题目内容

已知定义在R上的函数f（x）=2^x+ $数学公式$ ，a为常数，若f（x）为偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用单调性定义给予证明；
（3）求函数f（x）的值域．

解：（1）由f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），即 2^x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +a•2^x，…2分
从而a=1． …4分
f（x）=2^x+ $\text{[math]}$ ． …5分
（2）函数f（x）在（0，+∞）内单调增．
证明：任取 0＜x₁＜x₂，…6分
f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ），…..7分
由条件-∞＜x₁＜x₂，可得（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）＜0，）（ $\text{[math]}$ ）＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故函数f（x）在（0，+∞）内单调增．…..10分
（3）∵函数 f（x）=2^x+ $\text{[math]}$ ，令 t=2^x＞0，…..11分
则 y=t+ $\text{[math]}$ ，（ t＞0）…..12分
由基本不等式可得y=t+ $\text{[math]}$ ≥2，当且仅当t=1时，等号成立，…..14分
所以函数的值域为[2，+∞）．…..15分．
分析：（1）由f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），即 2^x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +a•2^x，由此求得a的值．
（2）函数f（x）在（0，+∞）内单调增，任取 0＜x₁＜x₂，证明f（x₁）-f（x₂）＜0，从而证明结论．
（3）函数 f（x）=2^x+ $\text{[math]}$ ，令 t=2^x＞0，则 y=t+ $\text{[math]}$ ，利用基本不等式求出它的值域．
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的奇偶性以及基本不等式的应用，属于中档题．