题目内容
【题目】
指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于
我们说身高较高，身高小于170cm我们说身高较矮．
（Ⅰ）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与
指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有
的把握认为男生的身高对指数有影响．
身高较矮 | 身高较高 | 合计 | |
体重较轻 | |||
体重较重 | |||
合计 |
（Ⅱ）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
身高 | 166 | 167 | 160 | 173 | 178 | 169 | 158 | 173 |
体重 | 57 | 58 | 53 | 61 | 66 | 57 | 50 | 66 |
根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为
．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求
（解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值）（保留两位有效数字）；
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
体重（kg） | 58 | 53 | 61 | 66 | 57 | 50 | 66 | |
残差 |
|
|
|
|
|
|
|
②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为
．小明重新根据最小二乘法的思想与公式，已算出
，请在小明所算的基础上求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．
参考数据：
，
，
，
，
参考公式：
，
，
，
，
．
| 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 |
| 2.706 | 3.811 | 6.635 | 7.879 |
【答案】（Ⅰ）列联表详见解析，没有
的把握认为男生的身高对
指数有影响；（Ⅱ）①残差表详见解析，
约为0.91；②
．
【解析】
（Ⅰ）根据散点图完善列联表，求出
与表中对应临界值比较即可判断；（Ⅱ）①求出编号为8的数据的残差，相应值代入公式
计算即可；②求出
，代入
中即可求得
，从而求得回归方程.
（Ⅰ）
身高较矮 | 身高较高 | 合计 | |
体重较轻 | 6 | 15 | 21 |
体重较重 | 6 | 5 | 11 |
合计 | 12 | 20 | 32 |
由于
，
因此没有的把握认为男生的身高对指数有影响．
（Ⅱ）①对编号为8的数据
，完成残差表如下所示：
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
体重 | 57 | 58 | 53 | 61 | 66 | 57 | 50 | 66 |
残差 | 0.1 | 0.3 | 0.9 |
|
|
|
| 3.5 |
．
所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值约为0.91．
②由①可知，第八组数据的体重应为58．此时，易知，
，
，
，
所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为．
