Question

若点O和点F（-2，0）分别是双曲线

x2

a2

-y2=1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则

OP

•

FP

的取值范围为（　　）

A．[3-2 3 ，+∞)

B．[3+2 3 ，+∞)

C．[- 7 4 ，+∞)

D．[ 7 4 ，+∞)

Answer 1

因为F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，
所以a²+1=4，即a²=3，所以双曲线方程为

x2

3

-y2=1，
设点P（x₀，y₀），
则有

x02

3

-y02=1(x0≥

3

)，解得y02=

x02

3

-1(x0≥

3

)，
因为

FP

=(x0+2，y0)，

OP

=(x0，y0)，
所以

OP

•

FP

=x0(x0+2)+y02=x₀（x₀+2）+

x02

3

-1=

4x02

3

+2x0-1，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-

3

4

，
因为x0≥

3

，
所以当x0=

3

时，

OP

•

FP

取得最小值

4

3

×3+2

3

-1=3+2

3

，
故

OP

•

FP

的取值范围是[3+2

3

，+∞)，
故选B．