Question

数列{a_n}满足S_n＝2n－a_n(n∈N^*)．

(1)计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

Answer 1

解　(1)当n＝1时，a₁＝S₁＝2－a₁，∴a₁＝1.

当n＝2时，a₁＋a₂＝S₂＝2×2－a₂，∴a₂＝.

当n＝3时，a₁＋a₂＋a₃＝S₃＝2×3－a₃，∴a₃＝.

当n＝4时，a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝S₄＝2×4－a₄，∴a₄＝.

由此猜想a_n＝(n∈N^*)．

(2)证明　①当n＝1时，左边＝a₁＝1，右边＝＝1，左边＝右边，结论成立．

②假设n＝k(k≥1且k∈N^*)时，结论成立，即a_k＝，那么n＝k＋1时，

a_k＋1＝S_k＋1－S_k＝2(k＋1)－a_k＋1－2k＋a_k＝2＋a_k－a_k＋1，

∴2a_k＋1＝2＋a_k，

∴a_k＋1＝＝＝，

这表明n＝k＋1时，结论成立，

由①②知猜想a_n＝成立．