Question

【题目】已知以点A（m， ）（m∈R且m>0）为圆心的圆与x轴相交于O，B两点，与y轴相交于O，C两点，其中O为坐标原点．
（1）当m=2时，求圆A的标准方程；
（2）当m变化时，△OBC的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）设直线与圆A相交于P，Q两点，且 |OP|=|OQ|，求 |PQ| 的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面积为定值;(3)

【解析】

试题（1）由可求得圆心坐标，由的值可求得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）由圆的方程可求得两点坐标，将面积转化为用两点坐标表示，可得其为定值；（3）由|OP|=|OQ|可得点O在线段PQ的垂直平分线上，结合圆心也在线段PQ的垂直平分线上，从而可得，由此可求得的值，即求得圆心坐标，结合直线与圆相交的弦长问题可求得的值.

（1）当 时，圆心 的坐标为 ，

∵圆过原点， ∴ ，

则圆的方程是；

（2）∵圆过原点， ∴= ，

则圆的方程是，

令 ，得，∴；

令，得，∴，

∴, 即：的面积为定值；

（3）∵， ∴垂直平分线段，

∵ ，∴，

∴ ，解得 .

∵ 已知，∴，

∴ 圆的方程为．

，

此圆与直线相交于两点，

.