Question

设抛物线y² =2px （p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

Answer 1

证明：因为抛物线y² =2px （p＞0）的焦点为F （，0），所以经过点F的直线AB的方程可设为

；                           

代入抛物线方程得   y² －2pmy－p² = 0，

若记A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），则y₁，y₂是该方程的两个根，所以 y₁y₂ = －p²．                                                     

因为BC∥x轴，且点c在准线x = －上，所以点C的坐标为（－，y₂），

故直线CO的斜率为，

即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．