Question

【题目】在四棱锥中，底面为正方形， 底面， 为棱的中点．

（1）证明： ；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】试题分析：（1）根据条件可证明平面，再根据线面垂直的性质即可求解；（2）建立空间直角坐标系后求得平面的一个法向量后即可求解；（3）设，利用空间向量建立关于的方程即可求解．

试题解析：（1）因为底面， 所以，因为，所以平面，由于平面，所以有；（2）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图）， 不妨设，可得， ， ， ，由为棱的中点，得， ， 向量，，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量．所以所以，直线与平面所成角的正弦值为；（3）向量， ， ．由点在棱上，设，故，由，得， 因此，解得，所以．