Question

定义在R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（1）＜f（lnx），则x的取值范围

（0，

1

e

）∪（e，+∞）

．

Answer 1

分析：分两种情况讨论：当lnx＞0时，结合f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，直接由f（1）＜f（lnx）得1＜lnx；当lnx＜0时，结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，由f（1）＜f（lnx）得到f（1）＜f（-lnx），所以1＜-lnx．分别解所得的不等式，可得实数x的取值范围是x＞e或0＜x＜

1

e

．

解答：解：①当lnx＞0时，因为f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数
所以f（1）＜f（lnx）等价于1＜lnx，解之得x＞e；
②当lnx＜0时，-lnx＞0，结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，
可得f（1）＜f（lnx）等价于f（1）＜f（-lnx），
再由函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，得到1＜-lnx，即lnx＜-1，
解之得0＜x＜

1

e

．
综上所述，得x的取值范围是x＞e或0＜x＜

1

e

．
故答案为：（0，

1

e

）∪（e，+∞）．

点评：本题在已知抽象函数的单调性和奇偶性的前提下，求解关于x的不等式，着重考查了函数的奇偶性与单调性等知识点，属于基础题．