Question

如图所示，已知圆O₁与圆O₂外切，它们的半径分别为3、1，圆C与圆O₁、圆O₂外切．
（1）建立适当的坐标系，求圆C的圆心的轨迹方程；
（2）在（1）的坐标系中，若圆C的半径为1，求圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）根据求曲线的轨迹方程常采用的方法定义法，由|CO₁|-|CO₂|=2即可得圆心的轨迹方程；
（2）欲求圆C的方程，关键是求其圆心的坐标，令C（x，y），由圆C与圆O₁、O₂相切得关于x，y的方程组解之即得．

解答：解：（1）如图，以O₁O₂所在的直线为x轴，以O₁O₂的中垂线
所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆C的圆心
为C（x，y），半径为r，由|CO₁|-|CO₂|=（r+3）-（r+1）=2，
得圆C的圆心的轨迹是以O₁（-2，0），O₂（2，0）为焦点，
定长为2的双曲线，设它的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1．由2a=2，得a=1，
又c=2，∴b²=c²-a²=3．又点（1，0）不合题意，且|CO₁|-|CO₂|=2＞0，知x＞1．
∴圆C的圆心的轨迹方程是x2-

y2

3

=1（x＞1）．
（2）令C（x，y），由圆C与圆O₁、O₂相切得|CO₁|=4，|CO₂|=2，
故

(x+2)2+y2=16 (x-2)2+y2=4

，解得C(

3

2

，±

15

2

)，
∴圆C的方程为(x-

3

2

)2+(y±

15

2

)2=1．

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．定义法，若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．